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frank_c1

[ZJOI 2015] 诸神眷顾的幻想乡

发布于2016年02月10日 | 1条评论 | 2,227阅读 | 后缀自动机

题目描述

幽香是全幻想乡里最受人欢迎的萌妹子,这天,是幽香的2600岁生日,无数幽香的粉丝到了幽香家门前的太阳花田上来为幽香庆祝生日。

粉丝们非常热情,自发组织表演了一系列节目给幽香看。幽香当然也非常高兴啦。

这时幽香发现了一件非常有趣的事情,太阳花田有n块空地。在过去,幽香为了方便,在这n块空地之间修建了n-1条边将它们连通起来。也就是说,这n块空地形成了一个树的结构。

有n个粉丝们来到了太阳花田上。为了表达对幽香生日的祝贺,他们选择了c中颜色的衣服,每种颜色恰好可以用一个0到c-1之间的整数来表示。并且每个人都站在一个空地上,每个空地上也只有一个人。这样整个太阳花田就花花绿绿了。幽香看到了,感觉也非常开心。

粉丝们策划的一个节目是这样的,选中两个粉丝A和B(A和B可以相同),然后A所在的空地到B所在的空地的路径上的粉丝依次跳起来(包括端点),幽香就能看到一个长度为A到B之间路径上的所有粉丝的数目(包括A和B)的颜色序列。一开始大家打算让人一两个粉丝(注意:A,B和B,A是不同的,他们形成的序列刚好相反,比如红绿蓝和蓝绿红)都来一次,但是有人指出这样可能会出现一些一模一样的颜色序列,会导致审美疲劳。

于是他们想要问题,在这个树上,一共有多少可能的不同的颜色序列(子串)幽香可以看到呢?

太阳花田的结构比较特殊,只与一个空地相邻的空地数量不超过20个。

输入格式

第一行两个正整数n,c。表示空地数量和颜色数量。

第二行有n个0到c-1之间,由空格隔开的整数,依次表示第i块空地上的粉丝的衣服颜色。(这里我们按照节点标号从小到大的顺序依次给出每块空地上粉丝的衣服颜色)。

接下来n-1行,每行两个正整数u,v,表示有一条连接空地u和空地v的边。

对于所有数据,1<=n<=100000, 1<=c<=10。 (部分分的数据范围略)

输出格式

一行,输出一个整数,表示答案。

题目解析

首先注意题面最后一句话。只与一个空地相邻的空地是什么?嗯,是叶子结点。然后呢?我是没有想出来…… 然而多画几幅图就可以知道,任意两点可以在以某一叶子结点为根的树上有祖先后代的关系,即在某一叶子结点为根的树上,两点间的路径是一条直线,不是折线。如此,我们以每个叶子结点为根建立一棵Trie,那么这20棵Trie上就包含了所有可能的串。

这样下面的工作就简单了。我们对这20棵Trie建立一个广义后缀自动机。设在自动机上终态为s的字符串组成的集合为Str(s),则根据后缀自动机的性质,自动机中所有结点的Str(s)是两两无交集的,且共同组成了所有模板串的子串,所以判重的工作已经自动完成了。最后统计子串的个数,引用CLJ课件中的定义,Str(s)中字符串的长度区间为[Min(s),Max(s)],即|Str(s)|=Max(s)-Min(s)+1Max(s)我们已经求出,如何求Min(s)呢?在课件中提到一个推论Min(s)=Max(Parent(s))+1,证明是显然的。这样|Str(s)|就可表示为Max(s)-Max(Parent(s)),本质不同的子串个数ans = \sum\limits_s {Max(s) - Max(Parent(s))} ,问题解决。

回顾一下问题的解决思路,发现还是第一步的条件转化最为关键,不得不大赞丽洁姐优秀的语文水平~~~~