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[BZOJ 1901] Dynamic Rankings

发布于2016年02月25日 | 暂无评论 | 584阅读 | 主席树,树状数组

题目描述

给定一个含有n个数的序列a[1],a[2],a[3]……a[n],程序必须回答这样的询问:对于给定的i,j,k,在a[i],a[i+1],a[i+2]……a[j]中第k小的数是多少(1≤k≤j-i+1),并且,你可以改变一些a[i]的值,改变后,程序还能针对改变后的a继续回答上面的问题。

你需要编一个这样的程序,从输入文件中读入序列a,然后读入一系列的指令,包括询问指令和修改指令。对于每一个询问指令,你必须输出正确的回答。

输入格式

第一行有两个正整数n(1≤n≤10000),m(1≤m≤10000)。分别表示序列的长度和指令的个数。第二行有n个数,表示a[1],a[2]……a[n],这些数都小于10^9。接下来的m行描述每条指令,每行的格式是下面两种格式中的一种。 Q i j k 或者 C i t Q i j k (i,j,k是数字,1≤i≤j≤n, 1≤k≤j-i+1)表示询问指令,询问a[i],a[i+1]……a[j]中第k小的数。C i t (1≤i≤n,0≤t≤10^9)表示把a[i]改变成为t。

输出格式

对于每一次询问,你都需要输出他的答案,每一个输出占单独的一行。

题目解析

这是一道带修改的区间第K大问题。我们知道,静态区间第K大问题可以用经典的主席树来解决,那么动态的呢?当然也可以。考虑静态情况下的主席树,因为没有修改,所以我们可以利用前缀和的思想,维护若干棵前缀线段树,两树相减就能方便地得到某段区间对应的线段树。

前缀和的查询是O(1)的,修改是O(n)的。是否有办法折衷一下呢?树状数组!在这里,我们可以用树状数组套主席树,使查询和修改都达到较优的复杂度。具体实现和普通树状数组差不多,我们每次修改时同时修改O(\log {n})棵线段树,每次询问同时在O(\log {n})棵线段树上走,二分求出区间K大值。这样的话询问和修改都能做到O(\log ^ 2 {n}),可以顺利通过本题。