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微积分基本定理

发布于2016年03月20日 | 暂无评论 | 509阅读 | 微积分

数学真的很重要。这次学习一下微积分基本定理。微积分基本定理描述了微积分的主要运算——微分和积分之间的关系,并给出了定积分的计算方法,极大地简化了定积分的计算。先上定义:

原函数

函数f(x)是定义在某区间的函数。若存在可导函数F(x),满足在该区间上有F'(x) = f(x),则称在该区间上F(x)f(x)的原函数。

微积分基本定理

若函数f(x)在区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则有

\int_{a}^{b} {f(x)\mathrm{d}x} = F(b) - F(a)

微积分基本定理又称牛顿·莱布尼茨公式。牛顿·莱布尼茨公式是联系微分学和积分学的桥梁,可以说,这是微积分大厦的基石。通过这个公式,微分和积分紧密地联系在一起,微积分也因此成为一门完整的学科。另外,这个公式极大地简化了定积分的计算,我们只要知道某函数的原函数,就可以精确地求出某段区间的定积分值。

这个定理有什么用呢?简单的,它可以精确地计算出曲线长度、曲边梯形的面积等;复杂一点,我们可以对概率密度函数求定积分得到随机变量在某区间的概率等。总之,这个定理的应用十分广泛,在物理、数学等技术学科中发挥着重要的作用。

再自己总结一下常用的微积分方法:

多项式求导

求多项式f(x) = \sum_{i=1}^{n} {a_i x^i}的导函数f'(x)

考虑函数f(x) = ax^b,易得f'(x) = ba x^{b-1}。由于导数加减运算法则与实数运算法则相似,于是可以对多项式分项求导再求和,有f'(x) = \sum_{i=1}^{n} {i a_i x^{i-1}}

多项式积分

求多项式f(x) = \sum_{i=1}^{n} {a_i x^i}在区间[a,b]上的定积分\int_{a}^{b} {f(x)\mathrm{d}x}

根据微积分基本定理,我们需要求出多项式f(x)的原函数。考虑上述多项式求导的结论,有F'(x) = f(x) = \sum_{i=1}^{n} {a_i x^i}。故F(x) = \sum_{i=1}^{n} {\frac{a_i} {i+1} x^{i+1}},定积分就是F(b) - F(a)

OI中似乎单独对微积分的要求并没有很高,我觉得主要还是与其他知识综合考察。不过既然写了那么多,那我就再积累一些知识,权当应付以后的数学考试吧。

导数的运算法则

(u + v)' = u' + v' \\ (u - v)' = u' - v' \\ (u v)' = u'v + uv' \\ (\frac{u} {v})' = \frac{u'v - uv'} {v^2} \; (v \neq 0)

链式法则

链式法则是微积分中求复合函数导数的常用方法。

(f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)

用一道例题来解释一下。

例.对h(x) = \sin(x^2 + x + 1)求导。

运用链式法则,设f(x) = \sin(x),g(x) = x^2 + x + 1,则

h'(x) = (f(g(x))' = f'(g(x))g'(x) = \cos(x^2 + x + 1)(2x + 1)

常用导数公式

(C)' = 0 \\ (x ^ a)' = ax^{a-1} \\ (a ^ x)' = a ^ x \ln a \\ (e ^ x)' = e ^ x \\ (\log_{a} {x})' = \frac{1} {x \ln a}\\ (\ln x)' = \frac{1} {x} \\ (\sin x)' = \cos x \\ (\cos x)' = -\sin x \\ (\arcsin x)' = \frac{1} {\sqrt{1 - x^2}}